Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，AC平分∠BAD．

（1）给出下列四个条件：①AB＝AD，②OB＝OD，③∠ACB＝∠ACD，④AD∥BC，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是（填写序号）；

（2）根据所选择的条件，证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）④（2）见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的判定选择的条件能使四边形ABCD是平行四边形，然后即可证明四边形ABCD是菱形；

（2）首先证明△AOB≌△AOD，然后结合AD∥BC可得到AB＝AD= BC，根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD可证□ABCD是菱形.

解：（1）选择④可以使四边形ABCD是菱形．

（2）证明：

∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝90°．

∵AC平分∠BAD，∴∠BAO＝∠DAO．

又∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD．

∴AB＝AD．

∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO．

又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BCO．

∴BA＝BC．

∴AD＝BC．

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．