Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，E为BC的中点．⊙O与边BC相切于点E，并交边AD于点M、N，AM＝3．

（1）求⊙O的半径；

（2）将矩形ABCD绕点E顺时针旋转，旋转角为（0°＜≤90°）．在旋转的过程中，⊙O和矩形ABCD的边是否能够相切，若能，直接写出相切时，旋转角的正弦值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ⊙O的半径为3.4．

【解析】

（1）如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM．根据矩形的性质和切线的性质求得FM=3，设⊙O的半径为r，则OM＝OE＝r，OF＝5－r．在Rt△OFM中，根据勾股定理即可求得半径的长.

（2）如图②，A'B'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，易证∠POE＝∠BEB'，OQ＝PB'＝OE，由（1）得OQ＝PB'＝OE＝3.4，PE＝6－3.4＝2.6，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝；如图③，A'D'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，易证∠POE＝∠BEB'，OQ＋OP＝A'B'，由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP＝5－3.4＝1.6，根据勾股定理，可得PE＝3，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝．

解：（1）如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM．

∵ ⊙O与BC相切于点E，∴ OE⊥BC．

在矩形ABCD中，

AD∥BC，AD＝BC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

∴ 四边形ABEF和四边形DCEF是矩形．

∴ AF＝BE，DF＝CE，EF＝AB＝5．

∵ BE＝CE，∴ AF＝DF．

∵ OE⊥BC，AD∥BC，∴ OF⊥AD．∴ MF＝NF．

∵ AF＝6，AM＝3，∴ FM＝3．

设⊙O的半径为r，则OM＝OE＝r，OF＝5－r．

在Rt△OFM中，根据勾股定理，得32＋(5－r)2＝r2．

解这个方程，得r＝3.4．

即⊙O的半径为3.4．

（2），．

如图②，A'B'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，

∵∠BEO＝90°，OP⊥B'E

∴∠BEB'+∠PEO=90°，∠POE+∠PEO=90°

∴∠POE＝∠BEB'，OQ＝PB'＝OE，

由（1）得OQ＝PB'＝OE＝3.4，PE＝6－3.4＝2.6，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝；

如图③，A'D'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，

∵∠BEO＝90°，OP⊥B'E

∴∠BEB'+∠PEO=90°，∠POE+∠PEO=90°

∴∠POE＝∠BEB'，OQ＋OP＝A'B'，由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP＝5－3.4＝1.6，根据勾股定理，可得PE＝3，即sin∠BEB'＝sin∠POE＝．