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【题目】等边△ABC与正方形DEFG如图1放置,其中DE两点分别在ABBC上,且BDBE

1)求∠DEB的度数;

2)当正方形DEFG沿着射线BC方向以每秒1个单位长度的速度平移时,CF的长度y随着运动时间变化的函数图象如图2所示,且当t=时,y有最小值1

求等边△ABC的边长;

连结CD,在平移的过程中,求当△CEF与△CDE同时为等腰三角形时t的值;

从平移运动开始,到GF恰落在AC边上时,请直接写出△CEF外接圆圆心的运动路径的长度.

【答案】1)∠BED60°;(22+2t222+2

【解析】

1)证明△BDE是等边三角形即可解决问题.

2如图2中,正方形DEFG平移过程中,FF′∥BC,易证四边形EFFE′是平行四边形,由题意,当CF′⊥BC时,CF′的值最小,此时CF′=1,解直角三角形求出EF′,CE′即可.

分两种情形分别画出图象求解即可.

如图5中,设△CEF′的外接圆的圆心为I,连接IE′,CIIF′,设直线FF′交ACH,在CB上取一点J,使得CHCJ,连接JHIJ.证明△HCF′≌△JCISAS),推出JIHF′,即可解决问题.

解:(1)如图1中,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠B60°,

BDBE

∴△BDE是等边三角形,

∴∠BED60°.

2如图2中,

如图正方形DEFG平移过程中,FF′∥BC,易证四边形EFFE′是平行四边形,

由题意,当CF′⊥BC时,CF′的值最小,此时CF′=1

RtCEF′中,∵∠ECF′=90°,∠FEC30°,CF′=1

EFEF′=2CE′=

tEE′=

EE′=CE′=

BEDEEF2

BCBE+EE+CE′=2+2

如图3中,当ED′=EF′=CE′=2时,△CEF与△CDE同时为等腰三角形,此时tEE′=BCBECE′=2+2422

如图4中,当ECED′=EF′=2时,△CEF与△CDE同时为等腰三角形,此时tEE′=BC+CE′﹣BEBC2+2

综上所述,t222+2时,△CEF与△CDE同时为等腰三角形.

如图5中,设△CEF′的外接圆的圆心为I,连接IE′,CIIF′,设直线FF′交ACH,在CB上取一点J,使得CHCJ,连接JHIJ

IE′=IF′=IC

∴∠FECFIC

∵∠FEC30°,

∴∠CJF′=60°,

∴△CIF′是等边三角形,

CHCJ,∠HCJ60°,

∴△HCJ是等边三角形,

CHCJCF′=CI,∠HCJ=∠FCI60°,

∴∠HCF′=∠JCI

∴△HCF′≌△JCISAS),

FHIJ,∠CHF′=∠CJI120°,

∴点I的运动轨迹是线段,且JIHF′,

可知FH

∴△CEF外接圆圆心的运动路径的长度为

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