Question

【题目】等边△ABC与正方形DEFG如图1放置，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE．

（1）求∠DEB的度数；

（2）当正方形DEFG沿着射线BC方向以每秒1个单位长度的速度平移时，CF的长度y随着运动时间变化的函数图象如图2所示，且当t=时，y有最小值1；

①求等边△ABC的边长；

②连结CD，在平移的过程中，求当△CEF与△CDE同时为等腰三角形时t的值；

③从平移运动开始，到GF恰落在AC边上时，请直接写出△CEF外接圆圆心的运动路径的长度．

Answer 1

【答案】（1）∠BED＝60°；（2）①2+2；②t＝2﹣2或2+2；③．

【解析】

（1）证明△BDE是等边三角形即可解决问题．

（2）①如图2中，正方形DEFG平移过程中，FF′∥BC，易证四边形EFF′E′是平行四边形，由题意，当CF′⊥BC时，CF′的值最小，此时CF′＝1，解直角三角形求出E′F′，CE′即可．

②分两种情形分别画出图象求解即可．

③如图5中，设△CE′F′的外接圆的圆心为I，连接IE′，CI，IF′，设直线FF′交AC于H，在CB上取一点J，使得CH＝CJ，连接JH，IJ．证明△HCF′≌△JCI（SAS），推出JI＝HF′，即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∵BD＝BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BED＝60°．

（2）①如图2中，

如图正方形DEFG平移过程中，FF′∥BC，易证四边形EFF′E′是平行四边形，

由题意，当CF′⊥BC时，CF′的值最小，此时CF′＝1，

在Rt△CE′F′中，∵∠E′CF′＝90°，∠F′E′C＝30°，CF′＝1，

∴EF＝E′F′＝2，CE′＝，

∵t＝EE′＝，

∴EE′＝CE′＝，

∵BE＝DE＝EF＝2，

∴BC＝BE+EE′+CE′＝2+2．

②如图3中，当E′D′＝E′F′＝CE′＝2时，△CEF与△CDE同时为等腰三角形，此时t＝EE′＝BC﹣BE﹣CE′＝2+2﹣4＝2﹣2．

如图4中，当E′C＝E′D′＝E′F′＝2时，△CEF与△CDE同时为等腰三角形，此时t＝EE′＝BC+CE′﹣BE＝BC＝2+2．

综上所述，t＝2﹣2或2+2时，△CEF与△CDE同时为等腰三角形．

③如图5中，设△CE′F′的外接圆的圆心为I，连接IE′，CI，IF′，设直线FF′交AC于H，在CB上取一点J，使得CH＝CJ，连接JH，IJ．

∵IE′＝IF′＝IC，

∴∠F′E′C＝∠F′IC，

∵∠F′E′C＝30°，

∴∠CJF′＝60°，

∴△CIF′是等边三角形，

∵CH＝CJ，∠HCJ＝60°，

∴△HCJ是等边三角形，

∴CH＝CJ，CF′＝CI，∠HCJ＝∠F′CI＝60°，

∴∠HCF′＝∠JCI，

∴△HCF′≌△JCI（SAS），

∴F′H＝IJ，∠CHF′＝∠CJI＝120°，

∴点I的运动轨迹是线段，且JI＝HF′，

由①可知FH＝，

∴△CEF外接圆圆心的运动路径的长度为．