Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=24，M是BC的中点，若点P为线段AD上的一点，连接AM、PM，△PAM是以AP为腰的等腰三角形，则AP的长为13或$\frac{169}{24}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①当AP=AM时，根据勾股定理求出AM即可得出AP；
（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，证明△PEA∽△ABM，得出对应边成比例$\frac{AP}{AM}=\frac{AE}{BM}$，即可求出AP．

解答 解：分两种情况：①当AP=AM时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，
∵M是BC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=12，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴AP=13；
（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，如图所示：
则∠AEP=90°=∠B，AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{13}{2}$，
∵AD∥BC，
∴∠PAE=∠AMB，
∴△PEA∽△ABM，
∴$\frac{AP}{AM}=\frac{AE}{BM}$，即$\frac{AP}{13}=\frac{\frac{13}{2}}{12}$，
解得：AP=$\frac{169}{24}$；
故答案为：13或$\frac{169}{24}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．