Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．

（1）试说明：点C也一定在⊙O上．

（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．

（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）∠PEF的度数不变，是45°（3）EF最大是8，最小是

【解析】

试题（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；

（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到△PEF是等腰直角三角形；

（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，求出即可.

试题解析：（1）∵FP⊥PE，

∴∠FPE=90°，

∴EF为直径，

∴OP=OE=OF，

∵∠C=90°，

∴OC=OE=OF，

∴点C在⊙O上，

（2）∵P、E、F共圆，

∴OP=OE=OF，

∴PE=PF，

∵FP⊥PE，

∴∠PEF的度数不变，是45°．

（3）当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8；

当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=8，

根据三角形的中位线可得EF=4，

所以EF最大是8，最小是 .