Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0）．按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R，N分别在射线DA，PB，LC上．

①当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形是正六边形时，x＝_____；

②当点D与点B重合时，EF，QR，MN所围成的三角形的周长为_____．

Answer 1

【答案】 3

【解析】

（1）利用正六边形的性质，构建方程即可解决问题．

（2）画出图形，可知EF，QR，MN所围成的△OGH是边长为1的等边三角形，由此即可解决问题．

（1）∵等边△ABC中，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，等边△DEF，△PQR，△LMN中，∠EDF=∠QPR=∠MLN=60°，

∴ADX，BYP，CZL都是等边三角形，

∵AD＝BP＝CL＝x（x＞0），

∴AX=DX=BY=PY=CZ=LZ=x，

∴DY=PZ=LX=5﹣2x，

当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形是正六边形时，5﹣2x=x，

∴x＝，

故答案为：；

（2）当点D与点B重合时，设EF、QR、MN所围成的三角形为△OGH，由题意可知：△OFM，△EGR，△NHQ都是等边三角形，BE=BF=FE=AM=AN=MN=CQ=CR=QR=3，

∴FM=ER=QN=3+3-5=1，

∴OF=OM=EG=RG=HN=HQ=1，

∴OG=GH=OH=3-1-1=1，

∴OG+GH+OH=3，

即：EF，QR，MN所围成的等边三角形的周长为3．

故答案为3．