Question

【题目】如图，已知四边形是平行四边形，点和在轴上，且为坐标原点，点，和点，连接并延长交轴于点．

(1)求直线的解析式；

(2)若点从出发以2个单位/秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位/秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线分别于点，，请猜想四边形的形状，(点，重合除外)，并证明你的结论．

(3)在(2)的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形?直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）直线AC的解析式为 ；（2）四边形PEFQ是矩形，证明见解析；（3）点P运动秒或秒时，四边形EPQF是正方形

【解析】

（1）利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出PE=FQ，即可得出结论；

（3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出PQ，利用PE=PQ建立方程即可求出时间．

解：（1）设直线AC的解析式为

∵四边形ABCO是平行四边形，且 ，

∴OC=AB=9

∴C（-9，0）

把、C（-9，0）代入得：

∴

∴

∴直线AC的解析式为

（2））四边形PEFQ是矩形，理由如下：

如图

∵点A的坐标为（-3，3）

∴直线OA的解析式为

∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动

∴OQ=-t

∴F（-t，t）

∴FQ=t

∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动，

∴OQ=-t，

∴F（-t，t），

∴FQ=t，

∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动，

∴CP=2t，

∴OP=-9+2t，

由（1）知，直线AC的解析式为

∴E（-9+2t，t），

∴PE=t，

∴PE=FQ，

∵FQ⊥x轴，PE⊥x轴，

∴∠PQF=90°，FQ∥PE，

∵PE=FQ，

∴四边形PEFQ是平行四边形，

∵∠PQF=90°，

∴平行四边形PEFQ是矩形

∴四边形PEFQ是矩形；

（3）由（2）知，PC=2t，OQ=t，PE=t，

∴PQ=OC-OQ-CP=9-t-2t=9-3t，或PQ=OQ+CP-OC=3t-9，

∵四边形PEFQ是正方形，

∴PQ=PE，

∴9-3t=t或3t-9=t，

∴ 或 ，即点P运动秒或秒时，四边形EPQF是正方形