Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm．BC=12cm，点P从点A沿边向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）几秒后DQ⊥PQ？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；
（2）设t秒后DQ⊥PQ，表示出PB=6-t，AP=t，QB=2t，CQ=12-2t，利用在Rt△PBQ中，PB²+QB²=PQ²，得到有关t的方程12²+t²=（6-t）²+4t²+（12-2t）²+6²求解即可．

解答：解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²，
∵AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴

1

2

×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；

（2）设t秒后DQ⊥PQ，
PB=6-t，AP=t，QB=2t，CQ=12-2t，
在Rt△PBQ中，
PB²+QB²=PQ²，
即：PQ²=（12-2t）²+6²，
同理：PD²=t²+12²，QD²=（12-2t）²-6²，
∵PQ²+QD²=PD²，
∴12²+t²=（6-t）²+4t²+（12-2t）²+6²，
解得：t=1.5或t=6，
答：1.5或6秒后DQ⊥PQ．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是利用三角形的面积和勾股定理列出有关的方程，难度不大．