Question

13．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2$\sqrt{3}$cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接EC交于AD于点P，由等腰三角形三线和一的性质可知AD是BC的垂直平分线，从而可证明BP=PC，故此PE+PB的最小值=EC，然后证明△ACE≌△CAD，从而得到EC=AD．

解答 解：连接EC交于AD于点P．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的垂直平分线．
∴PB=PC．
∴PE+PB=EP+PC=EC．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC．
∵点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴AE=DC．
在△ACE和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DC}\\{∠EAC=∠ACD}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CAD．
∴EC=AD=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，明确当点E、P、C在一条直线上时，PE+PB有最小值是解题的关键．