Question

3．如图，已知：矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，O为平面直角坐标系的原点；直线y=x+1分别交x，y轴及矩形OABC的BC边于E，M，F，且△EOM≌△FCM；过点F的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）当x0＜x＜1时，$\frac{k}{x}$＞x+1；
（3）若F为BC中点，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数的解析式求出E、M两点的坐标，再由△EOM≌△FCM得出OM=OC=1，故可得出F点的坐标，根据点F在双曲线上即可得出k的值；
（2）利用函数图象即可直接得出结论；
（3）先求出N点坐标，再由矩形的性质即可得出结论．

解答 解：∵当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1
∴OE=OM=1．
∵△EOM≌△FCM，
∴CM=CF=OE=OM=1，
∴F（1，2）．
（1）∵y=$\frac{k}{x}$的图象过点F（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）由函数图象可知，当0＜x＜1时，$\frac{k}{x}$＞x+1．
故答案为：0＜x＜1；

（3）∵F为矩形OABC的BC边中点，
∴B（2，2）
∴N（2，a）
∵N在y=$\frac{2}{x}$上
∴a=$\frac{2}{2}$，
∴a=1，
∴AN=1．
∵AB=OC=2，
∴BN=BA-AN=2-1=1．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质等知识，在解答此题时要注意数形结合思想的灵活运用．