Question

【题目】如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．

（1）当时，，请求出的长；

（2）当时，，请求出的长；

（3）若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长；

（4）在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的长．

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm．

【解析】

（1）（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；

（3）结合（1）、（2）进行解答；

（4）由题设画出图示，根据AQBQ＝PQ求得AQ＝PQ＋BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系．

解：（1）因为点C从P出发以1（cm/s）的速度运动，运动的时间为t=1（s），

所以（cm）．

因为点D从B出发以2（cm/s）的速度运动，运动的时间为t=1（s），

所以（cm）．

故BD=2PC．

因为PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP．

故AB=AP+PB=3AP．

因为AB=12cm，

所以（cm）．

（2）因为点C从P出发以1（cm/s）的速度运动，运动的时间为t=2(s)，

所以PC=（cm）

因为点D从B出发以2（cm/s）的速度运动，运动的时间为t=2(s)，

所以BD=（cm）

故BD=2PC

因为PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP

故AB=AP+PB=3AP

因为AB=12cm，所以AP=cm

（3）因为点C从P出发以1（cm/s）的速度运动，运动的时间为t（s），

所以（cm）．

因为点D从B出发以2（cm/s）的速度运动，运动的时间为t（s），

所以（cm）．

故BD=2PC．

因为PD=2AC，BD=2PC，

所以BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP．

故AB=AP+PB=3AP．

因为AB=12cm，

所以（cm）．

（4）本题需要对以下两种情况分别进行讨论．

① ②

（1）点Q在线段AB上（如图①）．

因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ．

因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ．

因为，所以．

故．

因为AB=12cm，所以（cm）．

（2）点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上（如图②）．

因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ．

因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ．

因为，所以．

故．

因为AB=12cm，所以（cm）．

综上所述，PQ的长为4cm或12cm．