Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1：（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)求点A和点C的坐标；

(2)当AB=4时，

①求二次函数C1的表达式；

②在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△DAC的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)将(2)中抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2，若当0≤x≤时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)A(-1，0)；C(0，-3)；(2)①；② D(1，-2)；（3）≤n＜3或n=4.

【解析】

（1）解方程即可得到点A、B的坐标；在函数中，由x=0可得y=-3，由此可得点C的坐标；

（2）①由（1）中所得点A、B的坐标结合AB=4可得m的值，由此即可得到函数的解析式；②由题意可知，AC是定值，而A、B两点关于抛物线的对称轴对称，由此可知当点D为直线BC与抛物线的对称轴的交点时，△ACD的周长最小，故由已知条件求得直线BC的解析式，再求出BC与对称轴的交点的坐标即可；

（3）①由题意设平移后的抛物线C2的解析式为：，当平移后的抛物线过点（，0）和（0，0）时，由抛物线的对称轴为直线x=1可得抛物线与x轴的另一个交点为（-0.5，0）和（1，0），由点（-0.5，0）不在的范围内，点（1，0）在可求得n的一个符合题意的取值范围； ②当平移后的抛物线的顶点在x轴上时，新抛物线与x轴也只有一个交点（1，0）在的范围内，由此也可得到一个符合条件的n的值；综合①②即可得到n的取值范围.

(1)在二次函数中，当y=0时，可得方程：

，

解得：，

∵抛物线与x轴的交点A在点B的左侧，且m>0，

∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（，0），

∵在中，当x=0时，y=-3，

∴点C的坐标为（0，-3）；

(2)①∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（，0），且m>0，

∴AB=+1，

又∵AB=4，

∴+1=4，解得m=1，

∴抛物线的解析式为：；

②如图1，由m=1，可得点B的坐标为（3，0），

∵AC的长为定值，A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称，

∴当点D为直线BC与对称轴x=1的交点时，AD+CD最小，此时△ACD的周长最小，

∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为（0，-3），

∴直线BC的表达式为 y=x-3.

把x=1代入y=x-3得y=-2，

∴D(1，-2)；

(3)设抛物线C2的表达式为

①当抛物线C2经过点（，0）时，解得：n =，此时抛物线与x轴的另一个交点为（-0.5，0），该点不在范围内；

当抛物线C2经过点（0，0）时，解得得n=3，此时抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），该点在的范围内，

∴综上可得：≤n＜3 ；

②当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，此时有x=1，y=0，解得n=4；

综合①②可得，n的取值范围是≤n＜3或n=4.