Question

2．如图，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，a）是一次函数y=$\frac{1}{2}$x+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求m、a的值及一次函数表达式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，再把B（-1，a）代入y=-$\frac{2}{x}$可求得a=2，然后把A点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x+b求出b，从而得到一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（x+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=$\frac{5}{2}$，然后计算自变量为$\frac{5}{2}$时的一次函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵反比例y=$\frac{m}{x}$的图象过点（-4，$\frac{1}{2}$），
∴m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
把B（-1，a）代入y=-$\frac{2}{x}$得-a=-2，解得a=2，
∵y=$\frac{1}{2}$x+b的图象过点A（-4，$\frac{1}{2}$）
∴$\frac{1}{2}$×（-4）+b=$\frac{1}{2}$，解得b=$\frac{5}{2}$，
∴一次函数的表达式是y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（x+4）=$\frac{1}{2}$×|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），解得x=$\frac{5}{2}$，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P点坐标是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．注意用点的坐标表示线段的长．