已知函数y=-x+4的图象与函数$y=\frac{k}{x}$的图象在同一坐标系内．函数y=-x+4的图象如图1与坐标轴交于A.B两点.点M(2.m)是直线AB上一点.点N与点M关于y轴对称.线段MN交y轴于点C．(1)m=2.S△AOB=8,(2)如果线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分.并且这两部分长度的比为1:3.求k的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．已知函数y=-x+4的图象与函数$y=\frac{k}{x}$的图象在同一坐标系内．函数y=-x+4的图象如图1与坐标轴交于A、B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．
（1）m=2，S_△AOB=8；
（2）如果线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值；
（3）如图2，若反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过点N，此时反比例函数上存在两个点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）关于原点对称且到直线MN的距离之比为1：3，若x₁＜x₂请直接写出这两点的坐标．

分析（1）利用点在函数图象上的特点求出m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底）．
（2）利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，分两种情况$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$或$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$计算即可．
（3）利用点到平行于坐标轴的直线的距离的计算方法以及和（2）类似的方法分两种情况处理，取绝对值时，也要分情况计算．

解答解：（1）∵M（2，m）在直线y=-x+4的图象上，
∴m=-2+4=2，
函数y=-x+4的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
故答案为2，8．
（2）∵m=2，
∴M（2，2），
∵点N与点M关于y轴对称，
∴N（-2，2），
∴MN=4，
∵线段MN被反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，
①当$\frac{ND}{DM}=\frac{1}{3}$时，即：$\frac{ND}{MN}=\frac{1}{4}$，
∴ND=1，
∴D（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
②当$\frac{ND}{DM}=\frac{3}{1}$时，即：$\frac{MN}{DM}=\frac{4}{1}$，
∴DM=$\frac{1}{4}$MN=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴D（1，2），
∴k=1×2=2．
故k的值为-2或2．
（3）反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过点N，且N（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵反比例函数上存在两个点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），
∴x₁y₁=-4x₂，y₂=-4，
∵点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）关于原点对称，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁，
∵M（2，2），N（-2，2），
∴点E到直线MN的距离为|y₁-2|，点F到直线MN的距离为|y₁+2|，
∵点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）到直线MN的距离之比为1：3，
∴点E（x₁，y₁）、F（-x₁，-y₁）到直线MN的距离之比为1：3，
①当$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{1}{3}$时，即：3|y₁-2|=|y₁+2|
当y₁＞2时，3y₁-6=y₁+2，
∴y₁=4，
∴y₂=-4，x₁=-1，x₂=1
当-2＜y₁≤2时，-3y₁+6=y₁+2，
∴y₁=1，
∴y₂=-1，x₁=-4，x₂=4
当y₁＜-2时，-3y₁+6=-y₁+2，
∴y₁=2（舍），
②当$\frac{{|y}_{1}-2|}{{|y}_{1}+2|}=\frac{3}{1}$时，即：3|y₁+2|=|y₁-2|，
当y₁＞2时，3y₁+6=y₁-2，
∴y₁=-4（舍），
当-2＜y₁≤2时，3y₁+6=-y₁+2，
∴y₁=-1，
∴y₂=1，x₁=4，x₂=-4（∵x₁＜x₂，舍），
当y₁＜-2时，-3y₁-6=-y₁+2，
∴y₁=-4，
∴y₂=4，x₁=1，x₂=-1（∵x₁＜x₂，舍），
∴E（-1，4），F（1，-4）或E（-4，1），F（4，-1）

点评本题是反比例函数的一道综合题，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离和点到直线的距离，如计算ND，MD，点E，F到直线MN的距离，本题的关键是确定确定两点的距离和点到直线的距离的确定，又用到了分几种情况计算，易丢掉其中一种情况．

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