Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】(1) t=2秒；(2)在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)；(3)①t=1.2，②t=3.

【解析】

(1)分别用t表示出QA和AP，则按QA=AP求解即可；

(2)观察图形可得S△QPC=S△QAC+S△APC，然后用含t的表达式分别求解S△QAC和S△APC，根据运算结果即可发现相关结论；

(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC两种情况进行讨论即可.

(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

当QA=AP时，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，

在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的

距离之和保持不变)

(3)分两种情况:

①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2s，

②当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3s.