Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在△ABC内，且PA=3，PB=1，PC=2，求△CPB的度数．小东同学尝试在CP的右侧作CD⊥CP，并截取CD=CP，再连接DP、DB，使问题获解：小西同学把CD画在CP的左侧，同样也使问题获解，请你分别在下面的两个图中画出小东和小西想到的辅助线，并选择其中的一种写出解答．

Answer 1

分析 小东的辅助线：根据SAS证明△CAP与△CBD全等即可，利用勾股定理的逆定理得出△PDB是直角三角形，进而解答即可；
小西的辅助线：同理证得△ADC≌△BPC，利用勾股定理的逆定理得出△ADP是直角三角形，进而解答即可．

解答 解：（1）作CD⊥CP，并截取CD=CP，再连接DP、DB，
∵∠ACB=90°，CD⊥PC，
∴∠ACB=∠PCD=90°，
∴∠ACP=∠BCD，
在△CAP与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCD}\\{PC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△CBD，
∴PA=BD=3，
∵PC=CD=2，CD⊥PC，
∴DP=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$，∠CPD=45°
∴DP²=8=BD²-PB²=3²-1²=8，
∴△BDP是直角三角形，
∴∠DPB=90°，
∴∠BPC=∠DPB+∠CPD=135°；
过C作CD⊥PC，使CD=PC，连接AD，CD PD，
同理△ADC≌△BPC，
∴AD=PB=1，∠PC=∠ADC，
∵PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，
∴AD²+PD²=1²+（2$\sqrt{2}$）²=9=AP²，
∴∠ADP=90°，
∴∠ADC=135°，
∴∠BPC=135°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据SAS证得三角形全等是解题的关键．