Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

（1）AB=_____；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．

（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．

Answer 1

【答案】(1)2；（2）100°；（3）.

【解析】试题分析：（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

试题解析：解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE=AB，∠OEB=90°．∵OB=2，∠B=30°，∴BE=OBcos∠B=2×=，∴AB=．故答案为： ．

（2）连接OA．∵OA=OB，OA= OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D．又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°，∴△DAC∽△BOC．∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC= AB=，∴若△ACD与△BCO相似，AC的长度为．