【题目】如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,
(1)求证:△ABQ ≌ △CAP;
(2)∠CMQ的大小变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(3)连接PQ,当点P,Q运动多少秒时,△PBQ是直角三角形?
【答案】(1)见解析;(2)无变化,∠CMQ=60 ;(3)t=s或
s时, △PBQ是直角三角形.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明;
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP,根据三角形的外角的性质解答;
(3)分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况,根据直角三角形的性质计算即可.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,
∵点P、Q的速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ和△CAP中,
∴△ABQ≌△CAP;
(2)解:∠CMQ的大小不发生变化,理由如下:
∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°;
(3)解:设点P,Q运动x秒时,△PBQ是直角三角形,
则AP=BQ=x,PB=(4-x),
当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴BP=2BQ,即4-x=2x,
解得,x=,
当∠PBQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,即2(4-x)=x,
解得,x=,
∴当点P,Q运动秒或
秒时,△PBQ是直角三角形.
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【题目】在一个不透明的盒子里,装有三个分别写有数字6,﹣2,7的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同,先从盒子里随机取出一个小球,记下数字后放回盒子,摇匀后再随机取出一个小球,记下数字.请你用画树形图或列表的方法,求下列事件的概率:
(1)两次取出小球上的数字相同的概率;
(2)两次取出小球上的数字之和大于10的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点E是直线BC上一点,连接AE,过点C作CF⊥AE于点F,连接BF.如图①,当点E在BC上时,易证AF﹣CF=BF(不需证明),点E在CB的延长线上,如图②:点E在BC的延长线上,如图③,线段AF,CF,BF之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
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【题目】我校图书馆大楼工程在招标时,接到甲乙两个工程队的投标书,每施工一个月,需付甲工程队工程款16万元,付乙工程队12万元。工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
(1)甲队单独完成此项工程刚好如期完工;
(2)乙队单独完成此项工程要比规定工期多用3个月;
(3)若甲乙两队合作2个月,剩下的工程由乙队独做也正好如期完工。
你觉得哪一种施工方案最节省工程款,说明理由。
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【题目】某网商经销一种畅销玩具,每件进价为18元,每月销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图中线段AB所示.
(1)当销售单价为多少元时,该网商每月经销这种玩具能够获得最大销售利润?最大销售利润是多少?(销售利润=售价﹣进价)
(2)如果该网商要获得每月不低于3500元的销售利润.那么至少要准备多少资金进货这种玩具?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,点B的坐标为(﹣1,2),将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O,则过A1,B两点的直线解析式为 .
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【题目】某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向 A区域时,所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠;方式二: 同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同,所购买物品享受8折优惠,其它情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一,则享受 9 折优惠的概率为_______;
(2)若顾客选择方式二,请用树状图或列表法列出所有可能,并求顾客享受8折优惠的概率.
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【题目】(1)已知关于x的方程2x2﹣mx﹣m2=0有一个根是1,求m的值;
(2)已知关于x的方程(2x﹣m)(mx+1)=(3x+1)(mx﹣1)有一个根是0,求另一个根和m的值.
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【题目】如图①:要设计一幅宽,长
的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为
,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
由横、竖彩条的宽度比为,可设每个横彩条的宽为
,则每个竖彩条的宽为
.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形
.
结合以上分析完成填空:
如图②:用含的代数式表示:
________
;
________
;矩形
的面积为________
;列出方程并完成本题解答.
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