Question

【题目】如图点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC．

（1）求证：点F为AB的中点．

（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED=2，求AH的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定，证得△AEF≌△DCE，再根据全等三角形的性质，证得DE=AF，进而得证；

（2）根据全等三角形的判定方法，证明△AEF≌△BHF，进而求得HB=AB=AE=4，再利用勾股定理求出AH的值即可．

（1）证明：∵EF⊥EC，

∴∠CEF=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠DEC+∠DCE=90°，

∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC，

∵AE=DC，

∴△AEF≌△DCE（AAS），

∴DE=AF，

∵AE=DC=AB=2DE，

∴AB=2AF，

∴F为AB的中点；

（2）由（1）知AF=FB，且AE∥BH，

∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB，

∴△AEF≌△BHF（AAS），

∴HB=AE，

∵DE=2，且AE=2DE，

∴AE=4，

∴HB=AB=AE=4，

∴，

∴，

故答案为：．