【题目】已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的三边长?
【答案】(1)见解析;(2)三角形的三边为4、6、6或6、6、10.
【解析】
(1)计算方程的判别式大于等于0即可;
(2)由等腰三角形的性质有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况,当b=6或c=6时,可知x=2为方程的一个根,代入可求得k的值,则可求得方程的根,可求得三边长;当b=c时,可知方程有两个相等的实数根,由判别式等于0可求得k,同样可求得方程的两根,可求得三角形的三边长.
(1)证明:
∵一元二次方程x2﹣(3k+1)x+2k2+2k=0,
∴△=(3k+1)2﹣4(2k2+2k)=9k2+6k+1﹣8k2+8k=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,
∴无论k取何实数值,方程总有实数根;
(2)解:
∵△ABC为等腰三角形,
∴有a=b=6、a=c=6或b=c三种情况,
①当a=b=6或a=c=6时,可知x=6为方程的一个根,
∴62﹣6(3k+1)+2k2+2k=0,解得k=3或k=5,
当k=3时,方程为x2﹣10x+24=0,解得x=4或x=6,
∴三角形的三边长为4、6、6,
当k=5时,方程为x2﹣16x+60=0,解得x=6或x=10,
∴三角形的三边长为6、6、10,
②当b=c时,则方程有两个相等的实数根,
∴△=0,即(k﹣1)2=0,解得k1=k2=1,
∴方程为x2﹣4x+4=0,解得x1=x2=2,
此时三角形三边为6、2、2,不满足三角形三边关系,舍去,
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10.
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【题目】如图1,抛物线 经过
,
两点,与
轴相交于点
,连接
.点
为抛物线上一动点,过点
作
轴的垂线
,交直线
于点
,交
轴于点
.
Ⅰ 求抛物线的表达式;
Ⅱ 当 位于
轴右边的抛物线上运动时,过点
作
直线
,
为垂足.当点
运动到何处时,以
,
,
为顶点的三角形与
相似?并求出此时点
的坐标;
Ⅲ 如图2,当点 在位于直线
上方的抛物线上运动时,连接
,
.请问
的面积
能否取得最大值?若能,请求出最大面积
,并求出此时点
的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】不透明的袋中有四个小球,分别标有数字1、2、3、4,它们除了数字外都相同。第一次从中摸出一个小球,记录数字后放回袋中,第二次摇匀后再随机摸出一个小球.
(1)求第一次摸出的小球所标数字是偶数的概率;
(2)求两次摸出的小球所标数字相同的概率.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形的顶点
与坐标原点重合,顶点
分别在坐标轴的正半轴上,
,点
在直线
上,直线
与折线
有公共点.
(1)点的坐标是 ;
(2)若直线经过点
,求直线
的解析式;
(3)对于一次函数,当
随
的增大而减小时,直接写出
的取值范围.
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【题目】从﹣2,﹣1,0,,1,2这六个数字中,随机抽取一个数记为a,则使得关于x的方程
=1的解为非负数,且满足关于x的不等式组
只有三个整数解的概率是__.
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【题目】为弘扬中华民族传统文化,某市举办了中小学生“国学经典大赛”,比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小华参加“单人组”,他从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“论语”的概率是多少?
(2)小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次.则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少?小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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【题目】石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“十一”国庆节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件童装降价1元,那么平均可多售出2件.
(1)设每件童装降价x元时,每天可销售______ 件,每件盈利______ 元;(用x的代数式表示)
(2)每件童装降价多少元时,平均每天赢利1200元.
(3)要想平均每天赢利2000元,可能吗?请说明理由.
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【题目】已知:正方形绕点
顺时针旋转至正方形
,连接
.
(1)如图,求证:;
(2)如图,延长交
于
,延长
交
于
,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出如图中的四个角,使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
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【题目】如图所示,在矩形ABCD中,点F是 BC的中点,DF的延长线与AB的延长线相交于点E,DE与AC相交于点O,若,则
( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
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