Question

如图，AC切⊙O于点C，AB过圆心O交⊙O于点B、D，且AC=BC，
（1）求∠A的度数；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）首先连接OC，由AC切⊙O于点C，可得OC⊥AC，然后设∠A=x°，由AB=AC以及圆周角定理，可得∠B=x°，∠AOC=2x°，继而求得答案；
（2）首先连接CD，易得△OCD是等边三角形．继而可由S_阴影=S_△ACO-S_扇形ODC求得答案．

解答：解：（1）连接OC．
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC．
∴∠ACO=90°，
设∠A=x°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=x°．
∴∠AOC=∠OCB+∠B=2x°．
在Rt△ACO中，
∵∠A+∠AOC=90°，
∴x+2x=90．
∴x=30．
即∠A=30°．

（2）连接DC．
在Rt△ACO中，∠AOC=90°-∠A=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形．
∴CD=OD=2，∠AOC=60°．
∵BD是直径，
∴∠DCB=90°，BD=4．
由勾股定理得BC=2

3

．
∴AC=BC=2

3

．
∴S_△ACO=

1

2

AC•OC=2

3

，
S_扇形ODC=

60

360

π•2²=

2

3

π，
∴S_阴影=S_△ACO-S_扇形ODC=2

3

-

2

3

π．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．