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【题目】ABC中,∠ABC90°

1)如图1,分别过AC两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为MN,求证:ABMBCN

2)如图2P是边BC上一点,∠BAP=∠CPMPAAC于点M,求的值;

3)如图3D是边CA延长线上一点,AEAB,∠DEB90°ADBCAC235,求的长.

【答案】1)见解析;(2;(3

【解析】

1)根据同角的余角相等得到∠MAB=∠NBC,根据两角对应相等的两个三角形相似证明结论;

2)过点PPDAMD.证明△PDM∽△APM,根据相似三角形的性质得到,设DM2a,根据勾股定理求出PM,证明△CDP∽△CBA,根据相似三角形的性质解答即可;

3)根据平行线的性质得到,根据相似三角形的性质得到,设BG4mAG4n,根据求出n2m,计算即可.

1)证明:∵AMMN

∴∠MAB+MBA90°

∵∠ABC90°

∴∠CBN+MBA90°

∴∠MAB=∠NBC,又∠AMB=∠BNC90°

∴△ABM~△BCN

2)解:过点PPDAMD

∴∠BAP+APB=∠CPM+APB90°

∴∠BAP=∠CPM=∠C

MPMC

PMPAPDAM

∴△PDM∽△APM

DM2a,则

由勾股定理得,

CDDM+CMDM+PM5a

∵∠CDP=∠CBA90°,∠C=∠C

∴△CDP∽△CBA

3)解:过点AAGBEG,过点CCHBEEB的延长线于H

∵∠DEB90°

CHAGDE

BCAC35

BCAB34

由(1)可知,△ABG∽△BCH

BG4mCH3mAG4nBH3n

ABAEAGBE

EGBG4m

GHBG+BH4m+3n

解得,n2m

AG4n8mBH3n6m

由勾股定理得

BE2BG8m

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