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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:

2a+b=0;

abc>0;

b2﹣4ac>0;

④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);

⑤当1<x<4时,有y2<y1

⑥方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根.

其中正确的有_____

【答案】①③⑤⑥

【解析】分析: ①利用对称轴x=1判定;

②根据图象确定a、b、c的符号;

③根据抛物线与x轴交点的个数确定;

④根据对称性判断;

⑤由图象得出,在1<x<4时,抛物线总在直线的上面,则y<y

⑥方程ax2+bx+c=3的根,就是图象上当y=3是所对应的x的值.

综上即可得出结论.

详解: ①因为抛物线的顶点坐标A(1,3),所以对称轴为:x=1,则=1,2a+b=0,故①正确;

②∵抛物线开口向下,

∴a<0,

∵对称轴在y轴右侧,

∴b>0,

∵抛物线与y轴交于正半轴,

∴c>0,

∴abc<0,

故②不正确;

③∵抛物线与x轴有两个交点,

∴b24ac>0,

故③正确;

④因为抛物线对称轴是:x=1,B(4,0),

所以抛物线与x轴的另一个交点是(2,0),

故④不正确;

⑤由图象得:当1<x<4时,有y2<y1;故⑤正确;

⑥∵抛物线的顶点坐标A(1,3),

∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1,

故⑥正确;

则其中正确的有:①③⑤⑥;

故答案为:①③⑤⑥.

点睛: 本题选项较多,比较容易出错,因此要认真理解题意,明确以下几点是关键:①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定;②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值,即b4ac的值:△=b4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b4ac<0时,抛物线与x轴没有交点;③知道对称轴和抛物线的一个交点,利用对称性可以求与x轴的另一交点.

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