【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;
②abc>0;
③b2﹣4ac>0;
④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);
⑤当1<x<4时,有y2<y1;
⑥方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根.
其中正确的有_____.
【答案】①③⑤⑥.
【解析】分析: ①利用对称轴x=1判定;
②根据图象确定a、b、c的符号;
③根据抛物线与x轴交点的个数确定;
④根据对称性判断;
⑤由图象得出,在1<x<4时,抛物线总在直线的上面,则y<y;
⑥方程ax2+bx+c=3的根,就是图象上当y=3是所对应的x的值.
综上即可得出结论.
详解: ①因为抛物线的顶点坐标A(1,3),所以对称轴为:x=1,则=1,2a+b=0,故①正确;
②∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴右侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴abc<0,
故②不正确;
③∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b24ac>0,
故③正确;
④因为抛物线对称轴是:x=1,B(4,0),
所以抛物线与x轴的另一个交点是(2,0),
故④不正确;
⑤由图象得:当1<x<4时,有y2<y1;故⑤正确;
⑥∵抛物线的顶点坐标A(1,3),
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1,
故⑥正确;
则其中正确的有:①③⑤⑥;
故答案为:①③⑤⑥.
点睛: 本题选项较多,比较容易出错,因此要认真理解题意,明确以下几点是关键:①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定;②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值,即b4ac的值:△=b4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b4ac<0时,抛物线与x轴没有交点;③知道对称轴和抛物线的一个交点,利用对称性可以求与x轴的另一交点.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.
(1)求证:四边形PBQD是平行四边形;
(2)若AD=8cm,AB=6cm,P从点A出发,以1cm/秒的速度向D运动(不与D重合),设点P运动时间为t秒.
①请用t表示PD的长;②求t为何值时,四边形PBQD是菱形.
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【题目】已知:在矩形ABCD中,点F为AD中点,点E为AB边上一点,连接CE、EF、CF,EF平分∠AEC.
(1)如图1,求证:CF⊥EF;
(2)如图2,延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若,点H为FG上一点,连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证:CH=FK;
(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
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【题目】如图,中且,又、为的三等分点.
(1)求证;
(2)证明:;
(3)若点为线段上一动点,连接则使线段的长度为整数的点的个数________.(直接写答案无需说明理由)
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【题目】如图,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列四个结论中:①DE=DF;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE=∠CDF;④BD=CD且AD⊥BC,其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.
(1)求证:EF是⊙O切线;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的长.
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【题目】如图,ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE、AC、AE.
(1)求证:△AED≌△DCA;
(2)若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积.
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【题目】有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示:
(1)比较大小:b____0, a____c, b____c, b-a____0;
(2)A,B两点间的距离为__________,B,C两点间的距离为_______;
(3)化简:|b|-|b+c|+|c-a|-|a+c|-|b-c|.
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