Question

如图，点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）上，点C在x轴的正半轴上且坐标为（4，O），△ODC是以CO为斜边的等腰直角三角形．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B为横坐标为1的反比例函数图象上的一点，BA、BE分别垂直x轴和y轴，垂足分别为点A和点E，连接OB，将四边形OABE沿OB折叠，使A点落在点A′处，A′B与y轴交于点F．求直线BA′的解析式；
（3）求一点P坐标，使点P、A′、A、O为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出P点坐标）

Answer 1

分析：（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，由三角形ODC为等腰直角三角形，利用三线合一得到G为OC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DG与OG的长，确定出D坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将B的横坐标1代入反比例解析式中求出y的值，确定出B的纵坐标，由折叠的性质得到△BOA′≌△BOA，即为BA与BA′的长相等，再利用AAS得出△OA′F≌△BFE，利用全等三角形对应边相等得到A′F=EF，由OE=EF+OF=4，得到A′F+OF=4，在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，设OF=x，则A′F=4-x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF的长，进而得出F的坐标，设直线A′B的解析式为y=kx+b，将B与F的坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线A′B的解析式；
（3）满足题意的P点有三个位置，如图所示，四边形AOA′P₁，四边形AA′P₂O，四边形AA′OP₃都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，由题意得出△FA′O∽△OMA′，由相似得比例求出A′M与OM的长，确定出A′的坐标，根据平行四边形的对边相等得到A′P₁=OA=1，确定出P₁的坐标，由A′、A分别为P₁P₂、P₁P₃的中点，A（1，0），利用线段中点坐标公式求出P₂与P₃的坐标．

解答：解：（1）过D作DG⊥x轴，交x轴于点G，
∵△ODC为等腰直角三角形，
∴G为OC的中点，即DG为斜边上的中线，
∴DG=OG=

1

2

OC=2，
∴D（2，2），
代入反比例解析式得：2=

k

2

，即k=4，
则反比例解析式为y=

4

x

；

（2）∵点B是y=

4

x

上一点，B的横坐标为1，
∴y=

4

1

=4，
∴B（1，4），
由折叠可知：△BOA′≌△BOA，
∵OA=1，AB=4，
∴BE=A′O=1，OE=BA′=4，
又∵∠OAB=90°，∠A′FO=∠BFE，
∴∠BA′O=∠OEB=90°，
∴△OA′F≌△BFE（AAS），
∴A′F=EF，
∵OE=EF+OF=4，
∴A′F+OF=4，
在Rt△A′OF中，由勾股定理得OA′²+A′F²=OF²，
设OF=x，则A′F=4-x，
∴1²+（4-x）²=x²，
∴x=

17

8

，
∴OF=

17

8

，即F（0，

17

8

），
设直线BA′解析式为y=kx+b，
将B（1，4）与F（0，

17

8

）坐标代入得：

k+b=4 b= 17 8

，
解得：

k= 15 8 b= 17 8

，
则线BA′解析式为y=

15

8

x+

17

8

；

（3）如图所示：四边形AOA′P₁，四边形AA′P₂O，四边形AA′OP₃都为平行四边形，
过A′作A′M⊥x轴，交x轴于点M，
∵∠A′OM+∠A′OF=90°，∠A′OM+∠MA′O=90°，
∴∠A′OF=∠MA′O，
∵∠A′MO=∠FA′O=90°，
∴△FA′O∽△OMA′，
∴

OF

OA′

=

OA′

OM

，即

17 8

1

=

1

OM

，
∴OM=

8

17

，根据勾股定理得：OM=

15

17

，
∴A′（-

15

17

，

8

17

），
∵A′P₁=OA=1，
∴P₁（

2

17

，

8

17

），
∵A′、A分别为P₁P₂、P₁P₃的中点，A（1，0），
∴P₂（-

32

17

，

8

17

），P₃（

32

17

，-

8

17

）．

点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，是一道综合性较强的压轴题．