Question

2．菱形ABCD，∠ABC=120°，点P在线段BD上，点E在线段AD延长线上，不与点A重合，连接PC，PE，且PC=PE
（1）求证：BP+AB=AE；
（2）若BP=$\frac{1}{2}$BD=4，则AE=12．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∠ABP=∠CBP=60°，∠BCD=60°，由SAS证明△ABP≌△CBP，得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，同理：△ADP≌△CDP，得出∠DAP=∠DCP，证出三角形EPC是等边三角形，得出∠PCE=60°，因此∠BCP=∠DCE，得出∠BAP=∠DCE，由ASA证明△ABP≌△CDE，得出BP=DE，即可得出结论；
（2）证明△ABD是等边三角形，得出AD=BD=8，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∠ABP=∠CBP=60°，∠BCD=60°，
∴∠EDC=∠BCD=60°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
同理：△ADP≌△CDP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PC=PE，
∴PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴∠PCE=60°，
∴∠BCP=∠DCE，
∴∠BAP=∠DCE，
在△ABP和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠DCE}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABP=∠CDE=60°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDE（ASA），
∴BP=DE，
∴AD=BD=8，
∴BP+AB=DE+AD=AE．
（2）解：∵BP=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴BD=8，
由（1）得：AB=AD，∠ABD=60°，DE=BP=4，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=8，
∴AE=AD+DE=8+4=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．