Question

13．如图，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F，已知点A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）直接写出△EMF与△BNF的面积之比以及点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），化为一般式后得-2a=2，解得a=1，于是得到抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；然后配成顶点式得到M点的坐标；
（2）先确定E（0，4），再利用EM∥BN可得△EMF∽△BNF，根据相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△EMF}}{{S}_{△BNF}}$=（$\frac{EM}{BN}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{MF}{NF}$=$\frac{EM}{BN}$=$\frac{1}{2}$，则可计算出FN=$\frac{8}{3}$，从而得到点F的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
则-2a=2，解得a=1，
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则M点的坐标为（1，4）；
（2）∵ME⊥y轴，
∴E（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴N（1，0），
∴BN=3-1=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴$\frac{{S}_{△EMF}}{{S}_{△BNF}}$=（$\frac{EM}{BN}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$；
$\frac{MF}{NF}$=$\frac{EM}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
而MN=4，
∴FN=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$，
∴点F的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．解决（2）小题的关键是利用相似三角形的判断与性质．