Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6．动点P从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，在边AC上以每秒3个单位长度的速度运动，在边BC上以每秒4个单位长度的速度运动，到点B停止，当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB于点Q；以Q为直角顶点向PQ右侧作Rt△PQD，且QD=PQ．设△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t(s)．

（1）当点P在边AC上时，求PQ的长(含t的代数式表示)；

（2）点D落在边BC上时，求t的值；

（3）求S与t之间的函数关系式；

（4）设PD的中点为E，作直线CE．当直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ=4t；（2）t=；（3）S=；（4）或．

【解析】

（1）由PQ∥BC，推出△APQ∽△ACB，可得 ，由此构建关系式即可解决问题．

（2）当点D落在BC上时，四边形PCDQ是矩形，根据PC=DQ，构建方程解决问题即可．

（3）分三种情形：①如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是△PQD．②如图3﹣2中，当＜t＜2时，重叠部分是四边形PQMN．③如图3﹣3中，当2＜t＜4时，重叠部分是△PQN，分别求解即可．

（4）分两种情形：①如图4﹣1中，设直线CE交DQ于N，连接OE．当QN=2DN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分．②如图4﹣2中，如图4﹣2中，设直线CE交PQ于N，连接OE，延长QD交CE于M．当QN=2PN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分，分别求解即可．

解：（1）如图1中，当点P在AC上时，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，

∴BC==8．

∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ACB，

∴，

∴，

∴PQ=4t．

（2）当点D落在BC上时，四边形PCDQ是矩形，∴PC=DQ．

∵PQ=4t，DQ=PQ，

∴DQ=6t，

∴6﹣3t=6t，

解得：t=．

（3）①如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是△PQD．

S=PQDQ=×4t×6t=12t2．

②如图3﹣2中，当＜t＜2时，重叠部分是四边形PQMN，

S=S△PQD﹣S△DMN=12t2﹣×（9t﹣6）×（9t﹣6）=﹣15t2+36t﹣12．

③如图3﹣3中，当2＜t＜4时，重叠部分是△PQN，

由题意PC=4（t﹣2），PB=BC﹣PC=16﹣4t=4（4﹣t），

∴PQ=3（4﹣t），DQ=（4﹣t）．

∵PB∥DQ，∴PN：DN=PB：DQ=8：9，

∴S=S△PQD=3（4﹣t）（4﹣t）=（4﹣t）2．

综上所述：．

（4）①如图4﹣1中，设直线CE交DQ于N，连接OE．

当QN=2DN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分．

∵PE=DE，PC∥DN，

∴，∴PC=DN，

∴QN=2PC，DQ=3PC，

∴6t=3（6﹣3t），

∴t=．

②如图4﹣2中，如图4﹣2中，设直线CE交PQ于N，连接OE，延长QD交CE于M．

当QN=2PN时，直线CE将△PQD的面积分成1：5两部分．

∵PC∥QM，PE=ED，

∴， ，

∴PC=DM=4（t﹣2），QM=2PC，

∴（4﹣t）+4（t﹣2）=2×4（t﹣2），

解得：t=，

综上所述：满足条件的t的值为或．