Question

【题目】在等边三角形中，点从点出发沿射线运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，、两点运动的速度相同，与直线相交于点.

（1）如图①，过点作交于点，求证：.

（2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为.

①当点在线段上运动时，求证：.

②当点在线段延长线上运动时，直接写出、与之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②.

【解析】

（1）根据易得△BPE 为等边三角形，所以BP=PE，再由速度相同可得BP=CQ，所以EP=CQ；

（2）①过点作交于点，可证明，可得ED=CD，在等边三角形BPE中，由三线合一可知，F为BE中点，然后可得出;

②作PG∥AC交BC的延长线于G，

同理可证明：△PGD≌△QCD，BF=FG

（1）∵是等边三角形，

∴.

∵，

∴，.

∴是等边三角形.∴.

∵、两点运动的速度相同，且同时出发，

∴.∴.

（2）①过点作交于点，

∴，.

由（1）得，

∴.

∴.

∵是等边三角形，，

∴.

∵，

∴.

② . 理由如下：

作PG∥AC交BC的延长线于G，

同理可证明：△PGD≌△QCD，BF=FG

∴DC=DG

∴BG-CG=BC，

∴2BF-2CD=BC

即