Question

【题目】如图所示，一元二次方程x2+2x-3=0的两根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）

（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC交于点Q，求点P，Q的坐标．

（3）在x轴上是否存在以动点M，使MQ+MA有最小值，若存在求出点M的坐标和最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（﹣1，﹣2），Q（﹣1，2）；（3）存在，MQ+MA的最小值为.

【解析】

（1）先求解方程x2+2x-3=0，得到B，C两点坐标，再设出抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），再将点A（3,6）代入求解即可；

（2）将抛物线解析式化为顶点式得到P点坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将A，C两点坐标代入得到直线AC的解析式，然后即可求得Q点坐标；

（3）连接AP，与x轴的交点即为所求点M，连接QM，根据点P，Q关于x轴对称，可得此时QM+AM=PM+AM为最小值，设直线AP的解析式为y=ax+c，利用待定系数法求求得直线AP的解析式，得到M点坐标为（0，0），过点A向PQ作垂线，垂足为H，在Rt△AHP中，利用勾股定理即可求得PA的值.

解：（1）解方程x2+2x-3=0，得x1=﹣3，x2=1，

∴交点C（﹣3,0），B（1,0），

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），

∵点A（3，6）在抛物线上，

∴解得a=，

则抛物线的函数解析式为；

（2）∵，

∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为直线x=﹣1，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3,6），C（﹣3,0）在直线AC上，

∴，

解得：k=1，b=3，

∴直线AC的解析式为：y=x+3，

当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，

∴Q点坐标为（﹣1，2）；

（3）存在，理由如下，

∵点P与点Q横坐标相等，纵坐标互为相反数，

∴点P，Q关于x轴对称，

∴连接AP，与x轴的交点即为所求点M，连接QM，

∴QM=PM，

∴QM+AM=PM+AM，

设直线AP的解析式为y=ax+c，

将A（3，6），P（﹣1，﹣2）代入y=ax+c得：

，

解得得a=2，c=0，

∴y=2x，

令y=0，则x=0，

∴点M的坐标为（0，0），

过点A向PQ作垂线，垂足为H，

则AH=4，PH=8，

在Rt△AHP中，，

∴MQ+MA=.