Question

16．如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． πcm²
• B． $\frac{2}{3}$πcm²
• C． $\frac{1}{2}$cm²
• D． $\frac{2}{3}$cm²

Answer 1

分析 过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，则△AOB是等腰直角三角形，由∠ACO=90°，可知△AOC是等腰直角三角形，由HL定理可知Rt△OCE≌Rt△ACE，故可得出S_扇形OEC=S_扇形AEC，$\widehat{OC}$与弦OC围成的弓形的面积等于$\widehat{AC}$与弦AC所围成的弓形面积，S_阴影=S_△AOB即可得出结论．

解答 解：过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直径，
∴∠ACO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE=AE，OC=AC，
在Rt△OCE与Rt△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{OE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCE≌Rt△ACE，
∵S_扇形OEC=S_扇形AEC，
∴$\widehat{OC}$与弦OC围成的弓形的面积等于$\widehat{AC}$与弦AC所围成的弓形面积，
同理可得，$\widehat{OC}$与弦OC围成的弓形的面积等于$\widehat{BC}$与弦BC所围成的弓形面积，
∴S_阴影=S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$cm²．
故选C．

点评 本题考查的是扇形面积的计算与等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形得出S_阴影=S_△AOB是解答此题的关键．