Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

（2）将等边△AOB沿x轴翻折，B点的对称点为B′．

①点B′会落在直线DE上么？请说明理由；

②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求直接写出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

Answer 1

（1）△OBC与△ABD全等，理由如下：

∵△AOB是等边三角形，∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，又∵△CBD是等边三角形；∴BC=BD，∠CBD=60°，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

，∴△OBC≌△ABD（SAS）．

（2）①点B'会落在直线DE上．

由（1）得，∠BAD=∠AOB=60°，从而得∠CAD=60°，所以∠OAE=60°．

所以∠OAB=∠OAE，所以，点B'会落在直线DE上．

②∵△OBC≌△ABD，∵∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠OAB=60°，∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，

∴OE=，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E．