Question

如图，在矩形ABCD中，AD=2

3

，以D为圆心，DC为半径的圆弧交AB于点E，交DA的延长线于点F，∠ECD=60°，则图中阴影部分的面积为

 

，（结果保留π）．

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：

分析：连结DE．先求出∠ECB=30°，解Rt△BCE，得出BE=2，CE=2BE=4，再证明△ECD是等边三角形，则DE=DC=CE=4，∠CDE=60°，再求出AE=2，然后根据S_阴影=S_扇形EDF-S_△DAE，即可求解．

解答：解：连结DE．

∵在矩形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ECD=90°-60°=30°．
在Rt△BCE中，∵∠B=90°，∠ECB=30°，BC=AD=2

3

，
∴BE=2，CE=2BE=4．
∵DC=DE，∠ECD=60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴DE=DC=CE=4，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
∴AE=

1

2

DE=2，
∴S_阴影=S_扇形EDF-S_△DAE=

30π×42

360

-

1

2

×2

3

×2=

4π

3

-2

3

．
故答案为

4π

3

-2

3

．

点评：本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，有一定难度．