Question

2．如图所示的“贾宪三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第四行的四个数恰好对应着（a+b）³的展开式a³+3a²b+3ab²+b³的系数； 第五行的五个数恰好对应着（a+b）⁴的展开式a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴的系数；
根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答：
（1）图中第七行正中间的数字是20；
（2）（a+b）⁶的展开式是a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．

Answer 1

分析 （1）观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求即可得出答案．

解答 解：（1）可以发现：（a+b）ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）^n-1的相邻两个系数的和，
则（a+b）⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；
（a+b）⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
则（a+b）⁶的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
故第七行正中间的数字是：20；
故答案为：20；

（2）由（1）得：（a+b）⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．
故答案为：a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶．

点评 本题考查了整式的混合运算，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．