[题目]已知抛物线...-.(n为正整数).点A(0.1)． (1)如图1.过点A作y轴垂线.分别交抛物线...-.于点...-.(和点A不重合)．①求的长．②求的长．(2)如图2.点P从点A出发.沿y轴向上运动.过点P作y轴的垂线.交抛物线于点..交抛物线于点..交抛物线于点..--.交抛物线于点.(在第二象限)． ①求的值．②求的值．(3)过x轴上的点Q.作x轴的垂线分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知抛物线，，，…，（n为正整数），点A(0，1)．

（1）如图1，过点A作y轴垂线，分别交抛物线，，，…，于点，，，…，（和点A不重合）．

①求的长．

②求的长．

（2）如图2，点P从点A出发，沿y轴向上运动，过点P作y轴的垂线，交抛物线于点，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，……，交抛物线于点，（在第二象限）．

①求的值．

②求的值．

（3）过x轴上的点Q（原点除外），作x轴的垂线分别交抛物线，，，…，于点，，，…，，是否存在线段（i，j为正整数），使，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）①1；②2020；（2）①1；②2020；（3）存在，最小值是2022

【解析】

（1）①利用函数解析式可得到抛物线的顶点坐标，再根据二次函数的对称性，可得点P1的横坐标，从而可求出AP1的值；②求出y2＝x2＋2x＋1的对称轴，利用二次函数的性质，就可得到点P2的横坐标，即可求出AP2的值，同理可得到AP3的值，根据其规律可得到AP2020的值；

（2）①设点C1的横坐标为x1，点D1的横坐标为x2，可得到PC1＝－x1，PD1＝x2，从而可表示出PC1－PD1，利用二次函数的对称性可得到x1＋x2＝－1，代入计算可求解；②利用同样的方法求出PC2－PD2的值，根据其规律可得到PC2020－PD2020的值；

（3）设点Q(x，0)，可得到OQ的长，再利用已知条件及函数解析式，分别求出E1E2＝OQ，E1E3＝2OQ，E1E4＝3OQ，根据其规律可得到E1En＝（n－1）OQ，再由，就可求出i和j的值，然后求和即可.

（1）解：①，

∴抛物线y1的顶点坐标为，

∵AP1∥x轴，

∴点A和点P1关于对称轴对称，

∴点P1的横坐标为，

∴点P1，

∴AP1＝|－1－0|＝1；

②∵y2＝x2＋2x＋1的对称轴为直线，点P2的横坐标为－2，

∴AP2＝|－2－0|＝2；

同理可知：AP3＝3，

……

AP2020＝2020；

（2）解：①设点C1的横坐标为x1，点D1的横坐标为x2，

∴PC1＝－x1， PD1＝x2，

∴PC1－PD1＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

抛物线y＝x2＋x＋1对称轴为直线x＝，点C1和点D1关于对称轴对称，

∴，

∴x1＋x2＝－1，

PC1－PD1＝－（－1）＝1；

②设点C2的横坐标为x1，点D2的横坐标为x2，

∴PC1＝－x1，PD1＝x2，

∴PC2－PD2＝－x1－x2＝－（x1＋x2），

抛物线y＝x2＋2x＋1对称轴为直线x＝－，点C2和点D2关于对称轴对称，

∴，

∴x1＋x2＝－2，

∴PC2－PD2＝－（－2）＝2；

……

PC2020－PD2020＝－（－2020）＝2020；

（3）解：设点Q（x，0）

∴OQ＝－x，

∴E1E2＝x2＋x＋1－（x2＋2x＋1）＝－x＝OQ，

E1E3＝x2＋x＋1－（x2＋3x＋1）＝－2x＝2OQ，

E1E4＝x2＋x＋1－（x2＋4x＋1）＝－3x＝3OQ，

E1En＝x2＋x＋1－（x2＋nx＋1）＝－（1－n）x＝（n－1）OQ，

∵，

∴EiEj＝2020OQ，

∴i＝1，j＝2020＋1＝2021，

∴i＋j的最小值为1＋2021＝2022.

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