Question

14．在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，动点P从点C出发，沿着CB方向运动，速度为每秒3个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）求BC上的高；
（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出答案；
（2）分别利用①当AP=AC时，②当AC=CP′时，③当AP″=CP″时，结合锐角三角函数关系得出答案．

解答 解：（1）∵3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形，
设BC上的高为x，则$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}$×BC×x，
$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}×5$x，
解得：x=2.4，
故BC边上高为2.4；

（2）①当AP=AC时，过A作AD⊥BC，
∵cosC=$\frac{AC}{CB}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=ACcosC=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴CP=$\frac{18}{5}$，
∵P的速度为每秒3个单位，
∴t=$\frac{18}{5}$÷3=$\frac{6}{5}$；
②当AC=CP′时，
∵AC=3，
∴CP′=3，
∴t=3÷3=1；
③当AP″=CP″时，
过P″作P″E⊥AC，
∵AC=3，AP″=CP″，
∴EC=1.5，
∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$
CP″=$\frac{EC}{cosC}$=$\frac{1.5}{\frac{3}{5}}$=2.5，
则t=2.5÷3=$\frac{5}{6}$
综上所述：t=1，$\frac{6}{5}$，$\frac{5}{6}$．

点评 此题主要考查了勾股定定理以及逆定理、锐角三角函数关系，正确利用分类讨论求解是解题关键．