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【题目】直线y=﹣x+cx轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线表达式;

(2)P为抛物线上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线ABM、N两点,若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),请求出此时点P的坐标.

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣+2;(2)满足条件的P点坐标为(﹣)或(﹣2,﹣3)或(1,3).

【解析】

(1)先把A点坐标代入y=-x+c中求出c=2,从而得到一次函数解析式为y=-x+2,然后把A点坐标代入y=-x2+bx+2中求出b即可得到抛物线解析式;
(2)设P(x,-x2+x+2),则N(x,-x+2),M(x,0),讨论:当x>4时,MN=MP,则-(-x+2)=-x+2-(-x2+x+2);当0<x<4时,PN=MN,则-x2+x+2-(-x+2)=-x+2;当-1<x<0时,NP=PM,-x+2-(-x2+x+2)=-x2+x+2;当x<-1时,NM=PM,-x+2=-(-x2+x+2),然后分别解方程得到对应P点坐标.

(1)A(4,0)代入y=﹣x+c得﹣2+c=0,解得c=2,

∴一次函数解析式为y=﹣x+2,

x=0时,y=﹣x+2=2,则B(0,2),

A(4,0)代入y=﹣+bx+2得﹣8+4b+2=0,解得b=

∴抛物线解析式为y=﹣+x+2;

(2)P(x,﹣+x+2,则N(x,﹣x+2),M(x,0),

x>4时,MN=MP,则﹣(﹣x+2)=﹣x+2﹣(﹣+x+2),

整理得x2﹣5x+4=0,解得x1=1(舍去),x2=4(舍去),

0<x<4时,PN=MN,则+x+2﹣(﹣x+2)=﹣x+2,

整理得x2﹣5x+4=0,解得x1=1,x2=4(舍去),此时P(1,3);

当﹣1<x<0时,NP=PM,﹣x+2﹣(﹣+x +2)=﹣+x +2

整理得2x2﹣7x﹣4=0,解得x1=﹣,x2=4(舍去),此时P(﹣ );

x<﹣1时,NM=PM,﹣x+2=﹣(﹣+x +2),

整理得x2﹣2x﹣8=0,解得x1=﹣2,x2=4(舍去),此时P(﹣2,﹣3);

综上所述,满足条件的P点坐标为()或(﹣2,﹣3)或(1,3).

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区域

频数

频率

宿迁

4

a

连云港

7

0.175

淮安

0.2

徐州

10

0.25

盐城

12

0.275

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