Question

12．如图，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-2x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上的动点，当点P绕原点O旋转180°的对应点Q在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以点O，A，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点坐标，然后把A、B两点坐标代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）设P（m，-2m+4）则Q（-m，2m-4），把点Q坐标代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①当OA为平行四边形OAMN的边时，MN=0A=2，则N（m-2，-2m+4），把点N坐标代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可．②当OA为对角线时，
因为OA与MN互相平分，OA的中点（1，0），推出N（2-m，2m-4），把N点坐标代入y=-2x²+2x+4解方程即可．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B两点坐标代入y=-2x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-2x²+2x+4．

（2）设P（m，-2m+4）则Q（-m，2m-4），
把点Q坐标代入y=-2x²+2x+4中，
得2m-4=-2m²-2m+4，
解得m=-1$±\sqrt{5}$，
∴点P坐标为（-1+$\sqrt{5}$，6-2$\sqrt{5}$）或（-1-$\sqrt{5}$，6+2$\sqrt{5}$）．

（3）设M（m，-2m+4），由题意A（2，0），
①当OA为平行四边形OAMN的边时，MN=0A=2，则N（m-2，-2m+4），
把点N坐标代入y=-2x²+2x+4中，
得-2m+4=-2（m-2）²+2（m-2）=4，
整理得m²-6m+6=0，
解得m=3±$\sqrt{3}$，
∴点M坐标为（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）．
②当OA为对角线时，
∵OA与MN互相平分，OA的中点（1，0），
∴N（2-m，2m-4），
把N点坐标代入y=-2x²+2x+4，
得到2m-4=-2（2-m）²=2（2-m）+4，
整理得m²-2m-2=0，
解得m=1$±\sqrt{3}$，
∴点M坐标为（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．
综上所述满足条件的点M坐标为（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）或（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、平行四边形的性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．