Question

【题目】如图1，OABC的边OC在y轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过的B．

求点B的坐标和反比例函数的关系式；

如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；

如图3，将线段OA延长交的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）；结论：理由见解析.

【解析】

试题（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；

（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；

（3）结论：BF=DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．由△EDM∽△EBN，推出，即，可得a=m，由△KNO≌△DEM，推出DE=KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题；

试题解析：（1）如图1中，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC=3，∵A（2，1），∴B（2，4），把B（2，4）代入中，得到k=8，∴反比例函数的解析式为．

（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．∵直线OB的解析式为y=2x，∴直线MN的解析式为y=﹣x+，∴N（0，），∴ON=．

（3）结论：BF=DE．理由如下：

如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．∵△EDM∽△EBN，∴，∴，可得a=m，∵NK∥EF，∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，∴△KNO≌△DEM，∴DE=KN，∵FK∥BN，NK∥FB，∴四边形NKFB是平行四边形，∴NK=BF，∴BF=DE．