Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，AD=1，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若△ABE是以AB为腰的等腰三角形，则CF=

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,勾股定理

专题：

分析：首先理解题意，得出此题应该分两种情况进行分析，分别是AB=AE，AB=BE，从而得到最后答案．

解答：解：如图1，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N．

根据已知条件可得，BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=

BM

AB

，
则AB=（BC-AD）÷2÷cosB=

2

．
①当AB=AE′时，如，2，

∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=

2

，
则在Rt△ABE′中，BE′=

2

AB=2，
故E′C=3-2=1．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故CF=

2

E′C=

2

；
②当AB=BE″时，如图3，

∵AB=

2

，
∴BE″=

2

，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=3-

2

；
综上所述，CF的长为

2

或3-

2

．
故答案为：

2

或3-

2

．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出CE的长是解此题的关键．