Question

10．毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形 几何点数层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n-1	3n-2	4n-3

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

Answer 1

分析 找出各种图形中的层数n与点数之间的关系即可．

解答 解：①在三角形数中，各层的几何点数与层数相等；
故答案为：6；n
②在正方形数中：
1层：1
2层：3
3层：5=3+2×1，
4层：7=3+2×2，
5层：9=3+2×3，
6层：3+2×（6-3）=11，…
n层：3+2×（n-2）=2n-1．
故答案为：11；2n-1
③在五边形中：
1层：1
2层：4
3层：7=4+3×1，
4层：10=4+3×2，
5层：13=4+3×3，
6层：4+3×（6-3）=16，…
n层：4+3×（n-2）=3n-2．
故答案为：16；3n-2
④在六边形中：
1层：1
2层：5
3层：9=5+4×1，
4层：13=5+4×2，
5层：17=5+4×3，
6层：5+4×（6-3）=21，…
n层：5+4×（n-2）=4n-3．
故答案为：21；4n-3

点评 本题考查了图形的变化规律问题，解题的关键是找出各种图形中的层数n与点数之间的关系．