Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：

（1）求线段AB的长及⊙C的半径；

（2）求B点坐标及圆心C的坐标．

　

Answer 1

【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．

【分析】（1）连接AB；由圆周角定理可知，AB必为⊙C的直径；Rt△ABO中，易知OA的长，而∠OAB=∠ODB=60°，通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了⊙C的半径；

（2）在Rt△ABO中，由勾股定理即可求得OB的长，进而可得到B点的坐标；过C分别作弦OA、OB的垂线，设垂足为E、F；根据垂径定理即可求出OE、OF的长，也就得到了圆心C的坐标．

【解答】解：（1）连接AB；∵∠ODB=∠OAB，∠ODB=60°

∴∠OAB=60°，

∵∠AOB是直角，

∴AB是⊙C的直径，∠OBA=30°；

∴AB=2OA=4，∴⊙C的半径r=2；

 

（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB²+OA²=AB²，

∴OB=，∴B的坐标为：（，0）

过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，

由垂径定理得：OE=AE=1，OF=BF=，

∴CE=，CF=1，

∴C的坐标为（，1）．

【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中．