Question

如图，BE、BC、CG分别切圆O于点E、F、G，且BE∥CG．
（1）若BE=4，CG=9，求圆O的半径；
（2）若BO=6，CO=8，求圆O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，连接EG、OF．构建相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例来求圆O的半径．
（1）通过△EBO∽△GOC的对应边成比例来求该圆的半径；
（2）勾股定理求得BC的长度，然后利用面积法来求OF的长度．

解答：解：如图，连接EG、OF．
（1）∵BE、BC分别切圆O于点E、F，
∴BE=BF．
∵在△BEO与△BFO中，

BE=BF OB=OB EO=FO

，
∴△BEO≌△BFO（SSS），
∴∠EBO=∠FBO．
同理，∠GCO=∠FCO．
∵BE∥CG．
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠DCB）=90°，
∠BOC=90°．
又BE、CG分别切圆O于点E、G，
∴点E、O、F三点共线，∠OEB=∠OGC=90°，
∴∠EOB=∠GCO，
∴△EBO∽△GOC，
∴

BE

OG

=

EO

GC

，即

4

OG

=

OG

9

，
则OG=6，即圆O的半径是6；

（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵BO=6，CO=8，
∴由勾股定理得到：BC=

OB2+OC2

=10．
∵BC是⊙O的切线，F是切点，
∴OF⊥BC，
∴

1

2

OB•OC=

1

2

BC•OF，则OF=

OB•OC

BC

=

48

10

=4.8，即圆O的半径是4.8．

点评：本题考查了切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．