【题目】(1)问题提出:如图已知直线OA的解析式是y=2x,OC⊥OA,求直线OC的函数解析式.
甲同学提出了他的想法:在直线y=2x上取一点M,过M作x轴的垂线,垂足为D设点M的横坐标为m,则点M的纵坐标为2m.即OD=m,MD=2m,然后在OC上截取ON=OM,过N作x轴的垂线垂足为B.则点N的坐标为 ,直线OC的解析式为 .
(2)拓展:已知直线OA的解析式是y=kx,OC⊥OA,求直线OC的函数解析式.
(3)应用:直接写出经过P(2,3),且垂直于直线y=﹣x+2的直线解析式 .
【答案】(1)(﹣2m,m),y=﹣x(2)y=﹣x(3)y=3x﹣3
【解析】
(1)设出点M的坐标,构造全等三角形,进而求出点N坐标,最后用待定系数法即可得出结论;
(2)同(1)的方法即可得出结论;
(3)先根据(2)求出直线的比例系数,最后将点P的坐标代入即可得出结论.
(1)在第一象限直线y=2x上取一点M,过M作x轴的垂线,垂足为D,在第二象限OC上截取ON=OM,过N作x轴的垂线,垂足为B.
∴∠ODM=∠OBN=90°,
∴∠DOM+∠DMO=90°,
∵OA⊥OC,
∴∠DOM+∠BON=90°,
∴∠DMO=∠BON,
在△ODM和△NBO中,,
∴△ODM≌△NBO(AAS),
∴DM=OB,OD=BN,
∵设点M的横坐标为m,则点M的纵坐标为2m.
∴OD=m,MD=2m,
∴OB=2m,BN=m,
∴N(﹣2m,m),
设直线OC的解析式为y=kx,
∴﹣2mk=m,
∴k=﹣,
∴直线OC的解析式为y=﹣x,
故答案为(﹣2m,m),y=﹣x;
(2)当k>0时,在第一象限直线y=kx上取一点M,过M作x轴的垂线,垂足为D,在第二象限OC上截取ON=OM,过N作x轴的垂线,垂足为B.
∴∠ODM=∠OBN=90°,
∴∠DOM+∠DMO=90°,
∵OA⊥OC,
∴∠DOM+∠BON=90°,
∴∠DMO=∠BON,
在△ODM和△NBO中,,
∴△ODM≌△NBO(AAS),
∴DM=OB,OD=BN,
∵设点M的横坐标为m,则点M的纵坐标为km.
∴OD=m,MD=km,
∴OB=km,BN=m,
∴N(﹣km,m),
设直线OC的解析式为y=k'x,
∴﹣2kmk'=m,
∴k=﹣,
∴直线OC的解析式为y=﹣x;
当k<0时,同理可得,直线OC的解析式为y=﹣x;
即:直线OC的解析式为y=﹣x;
(3)同(2)的方法得,直线y=kx与直线y=k'x垂直,可得kk'=﹣1,
设过点P的直线解析式为y=kx+b,
∵经过P(2,3),且垂直于直线y=﹣x+2,
∴k=3,
∴过点P的直线解析式为y=3x+b,
∴3×2+b=3,
∴b=﹣3,
∴过点P的直线解析式为y=3x﹣3,
故答案为y=3x﹣3.
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【题目】如图,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(3,3),B(1,1),C(4,–1).
(1)直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标;A1(__________)、B1(__________)、C1(__________).
(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2.
(3)求△ABC的面积.
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【题目】(10分)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算,恰好提前两天完成24000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
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【题目】在△ABC中,BC=3 ,AC=5,∠B=45°,对于下面四个结论:
①∠C一定是钝角; ②△ABC的外接圆半径为3;③sinA= ;④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 .其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】已知点A(0,0),B(2,0),点C在y轴上,且S△ABC=3.
(1)求点C的坐标;
(2)以点A、B、C为顶点,作长方形,试写出该长方形第四个顶点D的坐标.
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【题目】定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.如图1中的BD和CE就是两条三分线.
(1)请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数(画出一种即可);
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,请在图3上画出示意图;
(3)在(2)的前提下,设∠C=x°,试求出x所有可能的值.
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【题目】如图,画,并画的平分线.
(1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上,使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直,垂足为E、F(如图1),则 (选填<,>,=)
(2)把三角尺绕着点P旋转(如图2),与相等吗?试猜想、的大小关系,并说明理由.
拓展延伸1:在(2)条件下,过点P作直线,分别交、于点G、H,如图3
①图中全等三角形有多少对(不添加辅助线)
②猜想、、之间的关系,并证明你的猜想.
拓展延伸2:
画,并画的平分线,在上任取一点P,作.的两边分别与、相交于E、F两点(如图4),与相等吗?请说明理由.
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【题目】画图并填空:如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出BC边上的高线AE;
(3)利用网格点和三角板画图或计算:△A′B′C′的面积为______.
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