Question

19．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，$\frac{1}{4}$）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y=-1的垂线．垂足分别为M、F、N（如图二）．求证：PF⊥QF．

Answer 1

分析 （1）设顶点式y=a（x-1）²，然后把（0，$\frac{1}{4}$）代入求出a即可；
（2）根据二次函数图象上点的坐标，设P（x，$\frac{1}{4}$（x-1）²），易得PM=$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，然后利用两点的距离公式计算PR，得到PR²=（x-1）²+[$\frac{1}{4}$（x-1）²-1]²，接着根据完全平方公式变形可得PR²=[$\frac{1}{4}$（x-1）²+1]²，则PR=$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，所以PR=PM，于是可判断点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）根据（2）的结论得到得QN=QR，PR=PM，则PQ=PR+QR=PM+QN，再证明EF为梯形PMNQ的中位线，所以EF=$\frac{1}{2}$（QN+PM），则EF=$\frac{1}{2}$PQ=EQ=EP，根据点与圆的位置关系得到点F在以PQ为直径的圆上，则根据圆周角定理得∠PFQ=90°，即有PF⊥QF．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
把（0，$\frac{1}{4}$）代入得a=$\frac{1}{4}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-1）²；
（2）证明：如图1，设P（x，$\frac{1}{4}$（x-1）²），则PM=$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
∵PR²=（x-1）²+[$\frac{1}{4}$（x-1）²-1]²=（x-1）²+[$\frac{1}{4}$（x-1）]⁴-$\frac{1}{2}$（x-1）²+1=[$\frac{1}{4}$（x-1）]⁴+$\frac{1}{2}$（x-1）²+1=[$\frac{1}{4}$（x-1）²+1]²，
∴PR=$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，
∴PR=PM，
即点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）证明：由（2）得QN=QR，PR=PM，
∴PQ=PR+QR=PM+QN，
∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，
而E为线段PQ的中点，
∴EF为梯形PMNQ的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$（QN+PM），
∴EF=$\frac{1}{2}$PQ，
∴EF=EQ=EP，
∴点F在以PQ为直径的圆上，
∴∠PFQ=90°，
∴PF⊥QF．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和梯形的中位线性质；理解坐标与图形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长．要充分运用（2）的结论解决（3）中的问题．