Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．

（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；

（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NCAC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；

（2）根据MN∥CD得到，再由EN⊥DC得到EN∥AD，，再由AB∥DC，得到，即可得到，即为所求．

证明：（1）如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，

∵ON＝OM，

∴ ，

∴MN∥CD，

又∵EN∥BD，

∴四边形DMNE是平行四边形，

在△AOM和△DON中，

∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，

∴△AOM≌△DON（SAS），

∴∠OMA＝∠OND，

∵∠OAM+∠OMA＝90°，

∴∠OAM+∠OND＝90°

∴∠AHN＝90°．

∴DN⊥ME，

∴平行四边形DMNE是菱形；

（2）如图2，

∵MN∥CD，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，

∴AD⊥DC，

又∵EN⊥DC，

∴EN∥AD，

∴，

∵AB∥DC，

∴，

∴，

∴AN2＝NCAC．