Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣mx+n经过点A（3，0）．

（1）当m+n＝﹣1时，求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当B点坐标为（0，﹣3）时，若抛物线y＝x2﹣mx+n图象的顶点在直线AB上，求m、n的值；

（3）①设m＝﹣2，当0≤x≤3时，求抛物线y＝x2﹣mx+n的最小值；

②若当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值为﹣4，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）或；（3）①-15；②m＝2，n＝﹣3．

【解析】

（1）将点A（3，0）代入解析式，得9﹣3m+n＝0，与m+n＝1组成方程组，解方程组求得m、n即可；

（2）先表示出二次函数y＝x2﹣mx+n图象的顶点，利用直线AB列出式子，再与点A在二次函数上得到的式子组成方程组求得m，n的值，

（3）①易求抛物线解析式为y＝x2+2x﹣15．根据抛物线的对称性和增减性来求二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值；

②本题要分三种情况：当对称轴时；当对称轴时；当对称轴时，结合二次函数y＝x2﹣mx+n的图象经过点A得出式子9﹣3m+n＝0，求出m，n但一定要验证是否符合题意．

解：（1）将点A（3，0）代入y＝x2﹣mx+n中，得9﹣3m+n＝0，

又∵m+n＝﹣1，

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4）．

（2）二次函数y＝x2﹣mx+n图象的顶点坐标为，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（3，0），B（0，﹣3）代入得 ，

解得

∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，

∵抛物线顶点在直线AB上，

∴得，

又∵二次函数y＝x2﹣mx+n的图象经过点A（3，0），

∴9﹣3m+n＝0，

∴联立方程组得 ，解得或；

（3）①∵二次函数y＝x2﹣mx+n的图象经过点A（3，0），

∴9﹣3m+n＝0，

当m＝﹣2时，解得n＝﹣15，

∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣15，

∵对称轴x＝﹣1在0≤x≤3的左侧，且二次函数的图象开口向上，

∴x＝0时，y取最小值，最小值是﹣15．

∴当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值为﹣15；

②二次函数y＝x2﹣mx+n图象的对称轴为直线x＝，顶点坐标为，

ⅰ）当对称轴≥3时，即m≥6时，在0≤x≤3中，二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值的最小值为0，此种情况不合题意；

ⅱ）当对称轴0＜＜3时，即0＜m＜6时，

解得 或 （舍去）

∴m＝2，n＝﹣3；

ⅲ）当对称轴≤0时，即m≤0时，

解得 （舍去），

综上所述当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣mx+n的最小值为﹣4时，m＝2，n＝﹣3．