Question

【题目】如图，在中，，点、、分别在、、边上，以为直径⊙的恰好经过、，且

（1）求证：为⊙的切线；

（2）若，求的度数；

（3）若，，求⊙的半径及线段的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）65°；（3）

【解析】

（1）证明：连接OD、OE、DF，如图，利用圆周角定理得∠ADF＝90°，则DF∥BC，再证明OE⊥DF，则OE⊥BC，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）利用互余得到∠BOE＝50°，则利用等腰三角形和三角形内角和计算出∠OFE＝65°，然后根据圆内接四边形的性质可得到∠CDE的度数；

（3）利用四边形CDHE为矩形得到HE＝CD＝2，DH＝CE＝4，设⊙O的半径为r，则OH＝OEHE＝r2，OD＝r，则利用勾股定理得到（r2）2＋42＝r2，解方程得到r＝5，再证明△OHF∽△OEB，然后利用相似比可计算出BE．

解：（1）证明：连接OD、OE、DF，如图，

∵AF为直径，

∴∠ADF=90°，

而∠C=90°，

∴DF∥BC，

∵DE=EF，

∴

∴OE⊥DF，

∴OE⊥BC，

∴BC为⊙O的切线；

（2）∵∠OEB=90°，∠B=40°，

∴∠BOE=90°﹣40°=50°，

∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，

∴∠CDE=∠AFE=65°；

（3）解：∵∠C=∠OEC=90°

又OE⊥DF，

∴∠EHD=90°

∴四边形CDHE为矩形，

∴HE=CD=2，DH=CE=4，

设⊙O的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，

在Rt△OHD中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，

∵OH⊥DF，

∴HF=DH=4，

∵HF∥BE，

∴△OHF∽△OEB，

∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，

∴BE=．