Question

如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC=2

3

，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出

AD

=

BD

，故可得出∠C=

1

2

∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=

1

2

∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．

解答：解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，AF=BF，
∴∠C=

1

2

∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=

1

2

∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2

3

，
∴BF=

1

2

BC=

3

，
∴AB=2BF=2

3

；

（2）∵AO⊥BC，BC=2

3

，
∴CE=BE=

1

2

BC=

3

，
∵∠C=30°，
∴OC=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2，即⊙O的半径是2．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．