Question

△ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作一直线与直线BC交于点D，与圆交于点E．
（1）如图，当点D在线段BC上时，找出图中所有相似三角形并说明AC，AD，AE之间的关系；
（2）如图，当点D在BC的延长线上时，说明AC，AD，AE之间的关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）利用圆周角定理可得∠DAE=∠DCE，结合对顶角可得△ABD∽△CED，结合条件可得∠AEC=∠ABC=∠ACD，结合公共角，可得△ADC∽△ACE，可得到

AD

AC

=

AC

AE

，可得到AC²=AD•AE；
（2）连接CD，可得∠ADC+∠B=∠ACE+∠ACB，可得到∠ADC=∠ACE，可证得△ADC∽△ACE，可得

AD

AC

=

AC

AE

，可得出结论．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠AEC，且∠DAC=∠CAE，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED，△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD•AE，
综上可知相似三角形有△ABD∽△CED，△ADC∽△ACE，
AC，AD，AE之间的关系为：AC²=AD•AE；
（2）连接CD，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ADC+∠B=∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADC=∠ACE，且∠DAC=∠CAE，
∴，△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD•AE．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用圆周角定理和圆内接四边形的性质寻找角相等．