Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出

1

n(n+1)

=

 

（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

 

②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+…

1

n(n+1)

=

 

（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）根据乘法分配律提取

1

4

，再计算即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1005×1006

）
═

1

4

×

1005

1006

=

1005

4024

．
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

2010

2011

；

n

n+1

．

点评：本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．